Matematik/Science

Innehåll

Allmänt om specialkurserna på Science-programmet

Matematik på Science-programmet

Science-matematiken för matematiker

Programvara som används i matematiken på Europaskolan

Ladda ned texter

Allmänt om specialkurserna på Science-programmet
När Europaskolan ansökte om att få bedriva spetsutbildning i matematik, fysik, biologi och kemi fanns redan en rad lokala kurser som en del av vårt ordinarie naturvetenskapliga program, Kemi/Fysik-programmet. När Artes kom till lästes naturligtvis dessa kurser även av elever på den naturvetenskapliga inriktningen av detta program.

De kurser som nu samläses av alla tre programmen är endast en liten uppdatering av de gamla kurserna. Det är vi mycket stolta över, eftersom det innebär ett erkännande av vår verksamhet som den bedrivits i flera år.

Kurserna har utvecklats av lärare med gedigen ämneskunskap, alla har forskat i sina respektive ämnen, och alla har fortlöpande kontakter med ämnesinstitutioner på olika universitet och högskolor. Alla har även lång erfarenhet som lärare.

Historiskt har kurserna växt fram ur det samarbete som Europaskolan länge haft med läkemedelsindustrin i Strängnäs, ur de personliga kontakter de olika lärarna haft med olika institutioner och, framför allt, ur lärarnas brinnande intresse för sina ämnen.

Syftet med kurserna är naturligtvis att lära ut en hel del om matematik och naturvetenskap. De skall vara något alldeles extra för de som delar vårt intresse för våra ämnen. Det är dock lätt att överdriva ämnesorienteringen. Det finns en till synes oändlig källa att ösa ur, och det är inte så lätt att mäta framgång i denna fråga.
Vi har själva två mått på framgång:

- Vid studenten vill vi höra ”Det här med matematik och naturvetenskap verkar kul, det vill jag lära mig mer om!” av våra elever.

- Efter några år på någon högskola eller universitet vill vi höra att våra elever upplevt att de haft det lättare än sina kurskamrater från andra gymnasier. Delvis på grund av att de haft djupare ämneskunskaper, men också för att de i ett större sammanhang förstått hur olika kurser hänger ihop.

Matematik på Science-programmet
På Science-programmet (och högre kurser på KF och ArtesNV, se ovan) undervisas det i vetenskapen matematik! Naturligtvis är matematiken ett viktigt verktyg i övriga ämnen, men här har matematiken i sig ett egenvärde. Matematik är roligt och vackert! Det tränar också abstrakt och kreativt tänkande, vilket är nyttigt i sig. Att tampas med abstrakta teorier och begrepp ställer också höga krav på studietekniken. Vi fäster därför stor vikt vid att utveckla denna. Det vi inte gör är undervisar i det traditionella skolämnet matematik, som varken är verklighet eller vetenskap.

Det finns ett glapp mellan de traditionella gymnasiekurserna och högskolornas första kurser. Många gymnasieskolor försöker fylla ut gapet med någon överkurs, och högskolorna försöker möta upp med repetitionskurser av olika slag.

Vår modell för att lösa samma problem på ett annat sätt. Vi gör eleverna bekanta med en rad grundläggande begrepp, som man normalt inte stöter på förrän i slutet av sina högskolestudier. Syftet är att de redan då de börjar studera på högskolan skall förstå hur kurserna hänger ihop. Dessutom tycker vi att det är roligare att göra såhär.

Bilden nedan visar detta schematiskt.



En mer detaljerad förklaring, som kräver lite förkunskaper i matematik, följer nedan.

Det finns också en poäng som är relaterad till studieteknik. Att vara förberedd för högskolestudier innebär så mycket mer än bara att ha mycket kunskaper. Man måste också kunna läsa avancerade texter och vara bekant med den kultur som råder inom olika ämnen. Alla texter som används som utfyllnad för att höja nivån på undervisningen, är därför skrivna så att de skall likna typiska texter på högskolenivå.

”Gör den lätta matematiken svår, så att den svåra matematiken blir lätt.”

Citatet ovan kan på sätt och vis tjäna som en sammanfattning. Mer konkret gäller:

Vi undervisar i vetenskapen matematik, inte skolämnet matematik.

Vi är noga med definitioner och bevisar satser.

Språket, och hela ämnets kultur, liknar högskolan.


Science-matematiken för matematiker
Här förklaras vad som tas upp på ett sätt som kräver att läsaren har mycket förkunskaper i matematik. Eftersom det finns så många symboler och annat i matematiken som inte gör sig så bra i html, finns denna text här.

Programvara som används i matematiken på Europaskolan
Alla som läser matematik har nytta av att kunna använda programvara som stöd. Det som beskrivs nedan gäller obligatoriskt på Science-programmet. Om du är elev på Europaskolan, men inte går på Science-programmet, gör du upp med din lärare i respektive kurs hur du kan tillgodoräkna dig laborationerna i den kurs du går.

Alla programvaror är gratis. Du kan fritt ladda ned dem från respektive hemsida och installera hemma. Detta är också anledningen till att du inte behöver en grafritande miniräknare om du går på Science-programmet.

Det är viktigt att poängtera att programmen inte på något vis ersätter färdigheter i räkning och algebra. De används uteslutande för att tränga djupare in i matematiken än vad som skulle vara möjligt utan dem.

Maxima
Maxima är ett program som bland annat hanterar algebra symboliskt. Introduktionen du kan ladda ned är skriven så att du lär dig använda programmets funktioner i samma takt du läser kurserna Matematik A till Matematik E.

Maxima liknar till stora delar de kommersiella programmen Mathematica och Maple.

Introduktion till Maxima
Maximas hemsida

Gnuplot
Gnuplot är ett program som ritar grafer till funktioner av en eller två variabler. Det kan också rita kurvor och ytor på parameterform, samt visualisera datafiler på många sätt. Alla grafer i de läromedel som du kan ta del av nedan är genererade med Gnuplot.

Gnuplot används inte bara i ämnet matematik, utan även då grafer skall ritas i olika
sammanhang vid laborationer i fysik och kemi.

Introduktion till Gnuplot
Gnuplots hemsida
Mycket bra sida med tips

Ladda ned texter

Läromedel
Här presenteras de läromedel som används i respektive kurs. Att skriva detta är ett ständigt utvecklingsarbete. Vissa texter är under så stor utveckling att vi inte gärna publicerar dem. Andra har inte ens växt ur sitt första embryo. Då publiceras de inte heller. De tas ändå med nedan för att ge en bild av undervisningen som helhet.

Matematikhistoria med talteori introducerar både den moderna matematikens axiom och matematikens historia. Här tas axiomen för grupper, ringar och kroppar upp, samt lite grundläggande talteori. Detta jämförs sedan med den talteori som några av de gamla grekiska matematikerna sysslade med. Läromedlet används i kurserna Matematik A och Axiomatiska system.

Tal och polynom tar upp likheterna i algebraisk struktur mellan de hela talen och polynom över rationella tal. Denna likhet är en del av det som vi ibland benämner matematikens storskaliga struktur, vilket är beskrivet ovan. Läromedlet används i kurserna Matematik B och uppåt.

Euklidisk geometri tar upp geometri på det sätt som de gamla grekerna gjorde det. Geometri för dem var något helt annat än aritmetik (räkning). De enda tillåtna hjälpmedlen var en passare och en ograderad linjal. Läromedlet används i kursen Axiomatiska system.

Konstruktioner är några konstruktioner med linjal och passare. De är för tillfället utlyft ur texten om Euklidisk geometri.

Koordinatgeometri tar upp geometri på ett modernt sätt. Här definieras en punkt som ett ordnat par av tal och linjer, cirklar, och andra objekt definieras som lösningsmängden till en ekvation. Även begreppet metrik tas upp. Läromedlet används i kursen Axiomatiska system.

Fraktal geometri tar upp begreppen euklidisk, topologisk och fraktal dimension. Här finns också en laboration där den fraktala dimensionen (nätdimensionen) för en kurva (som ritas på ett papper) bestäms. Läromedlet används i Axiomatiska system.

Polynom av grad två sätter fingret på skillnaden mellan polynom, polynomfunktioner och polynomekvationer. Egenskaper för grafen till en polynomfunktion jämförs med egenskaper för polynomet själv. Denna text innehåller också mikro och megaövningen, vilka grundligt tränar allt som behövs för att bli säker på stora delar av algebran och funktionsläran i Matematik B. Detta läromedel används i Matematik B.

Statistik tar upp sannolikhetslära och matematisk statistik. Begrepp som tas upp är bland annat fördelningar, varians och standardavvikelse, normalfördelning, statistisk inferens och konfidensintervall. Läromedlet används i Matematik B.

Mängdlära tar upp begrepp som snitt, union, venndiagram och lite annat smått och gott. Även hur mängder tecknas. Läromedlet används i Matematik B och Matematik Diskret.

Ekvationer av grad fyra tar upp en speciell klass av frjärdegradsekvationer. Denna övning benämns ibland Gigaövningen. Läromedlet används i Matematik C.

Polynom av grad tre tar upp egenskaper för polynom av grad tre och dess derivata. Den innehåller även Teraövningen, som liknar Megaövningen i Polynom av grad två. Läromedlet används i Matematik C.

Differentialekvationer tar upp lite fysik som har med viskös dämpning att göra. Därefter härleds lösningen till differentialekvationer av ordning två ordentligt. Läromedlet används i kursen Matematik E.

Komplexa tal tar upp komplexa tal definierade som rent geometriska objekt. Det som är intressant med detta är att den normala definitionen då kan formuleras som ett påstående och bevisas. Läromedlet används i Matematik E.

Rum för alla tar upp begreppen metrik, norm, vektoralgebra och skalärprodukt i funktionsrum. Läromedlet används i Matematik D.

Trigonometri tar förutom trigonometri upp kedjeregeln och produktregeln, vilka visas ordentligt. Därefter härleds derivatan av de trigonometriska funktionerna.

Övningar
Vissa moment är väldigt tekniska till sin natur, till exempel att lösa en viss sorts ekvation. Vill man bli snabb, måste man öva mycket. Ibland går det att skapa (ett datorprogram som skapar) väldigt många övningar till ett sådant moment.

Nedan tillhandahålls övnigar på diverse sådana moment.

Andragradsekvationer (Ma B)
Kvadratiska funktioner (Ma B)
Exponentialfunktionen (Ma B/C)
Trigonometriska ekvationer (Ma D)
Trigonometriska funktioner (Ma D)
Kedje-, produkt- och kvotregeln (Ma D)
Trigonometriska funktioner (Ma D)
Ordinära differentialekvationer av ordning 1 (Ma E)
Ordinära differentialekvationer av ordning 2 (Ma E)


Laborationer
Dessa laborationer löses med Maxima och/eller Gnuplot. De skall vara självinstruerande, vilket gör att du kan göra dem när och hur du vill. Laborationerna brukar genomföras individuellt och redovisas dels skriftligt med kommentarer i det script som löser problemet, dels muntligt genom att scriptet förklaras i detalj. Om du inte går Science-programmet kan du komma överens med din lärare om hur du kan tillgodoräkna dig laborationerna i respektive kurs.

Laborationerna är konstruerade så att de både tränar användandet av Maxima/Gnuplot och ger djupare insikt i matematiken eller någon tillämpning.

RSA-kryptering genomförs i Matematik A/Axiomatiska system efter momentet talteori. Här får du lära dig hur man krypterar data med så kallad öppen nyckel.

Z och Polynom genomförs i Matematik B. Här får du grundligt undersöka likheterna i algebraisk struktur på heltalen och polynom.

Taylorserier genomförs i Matematik C. Här får du lära dig lite mer om approximation av funktioner med polynom av högre grad än ett (vilket brukar tas upp i Matematik C). Du tränar även att använda Gnuplot för att göra informativa grafer.

Rötter och grafen genomförs i Matematik E. Här får du se hur de komplexa rötterna till en polynomekvation förändras då den konstanta termen i ekvationen ändras. Detta knyter ihop nästan all polynomteori på hela gymnasiet.

H2O är en laboration där uppmätta data för real och imaginärdelen för dielektricitetsfunktionen för vatten visualiseras i Gnuplot. Vissa fysikaliska egenskaper för vatten skall synas i den genererade grafen.